الرياضياتالوحدة: المتتاليات العددية

المتتاليات العددية: الحسابية، الهندسية والمتتالية المساعدة

ملخص المتتاليات العددية للبكالوريا: المتتاليات الحسابية والهندسية، المجاميع، الاستدلال بالتراجع، الرتابة والتقارب، مع تمرين محلول بمتتالية مساعدة.

نُشر في 3 نوفمبر 20263 دقائق قراءة

ملخص تعليمي للمراجعة؛ لا يغني عن الكتاب المدرسي ودروس أستاذك.

محتوى المقال

تمرين المتتاليات حاضر تقريبًا في كل مواضيع البكالوريا. أغلبه يتبع نمطًا واحدًا: متتالية معرفة بعلاقة تراجعية + متتالية مساعدة هندسية.

المتتالية الحسابية

$(u_{n})$ حسابية أساسها $r$ إذا كان من أجل كل $n$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ .

u_{n} = u_{0} + n r u_{n} = u_{p} + (n - p) r

المجموع: $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = \frac{( n + 1 ) ( u _{0} + u _{n} )}{2}$

أي: عدد الحدود × (الحد الأول + الحد الأخير) ÷ 2.

$(v_{n})$ هندسية أساسها $q$ إذا كان من أجل كل $n$ : $v_{n + 1} = q v_{n}$ .

v_{n} = v_{0} q^{n} v_{n} = v_{p} q^{n - p}

المجموع (من أجل $q \neq = 1$ ):

v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n} = v_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}

لإثبات أن خاصية $P (n)$ صحيحة من أجل كل $n \geq n_{0}$ :

ندرس إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ : إذا كانت موجبة فالمتتالية متزايدة.
مبرهنة: كل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى متقاربة، وكل متتالية متناقصة ومحدودة من الأسفل متقاربة.

لتكن $(u_{n})$ المعرفة بـ $u_{0} = 1$ ومن أجل كل $n$ : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .

نضع $v_{n} = u_{n} - 6$ . لنبيّن أن $(v_{n})$ هندسية:

v_{n + 1} = u_{n + 1} - 6 = \frac{1}{2} u_{n} + 3 - 6 = \frac{1}{2} u_{n} - 3 = \frac{1}{2} (u_{n} - 6) = \frac{1}{2} v_{n}

إذن $(v_{n})$ هندسية أساسها $q = \frac{1}{2}$ وحدها الأول $v_{0} = u_{0} - 6 = - 5$ .

v_{n} = - 5 (\frac{1}{2})^{n} ⟹ u_{n} = v_{n} + 6 = 6 - 5 (\frac{1}{2})^{n}

بما أن $- 1 < \frac{1}{2} < 1$ فإن $lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{2})^{n} = 0$ ، إذن:

n \to + \infty lim u_{n} = 6

v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n} = - 5 \cdot \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}} = - 10 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1})

ومنه $u_{0} + \dots + u_{n} = 6 (n + 1) - 10 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1})$ .