مكتبة قوانين الرياضيات والفيزياء للبكالوريا

قوانين أساسية مكتوبة بوضوح، مع شرح مختصر ومثال عند الحاجة. ابحث أو صفِّ حسب المادة والوحدة.

31 قانون

مشتقة دالة مركبة

الاشتقاقية

(v \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) v^{'} (u (x))

نشتق الدالة الخارجية عند u(x) ثم نضرب في مشتقة الدالة الداخلية.

مثالمع u(x)=x²+1

(x^{2} + 1)^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

معادلة المماس

الاشتقاقية

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

معادلة المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة ذات الفاصلة a.

مشتقات مألوفة

الاشتقاقية

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

قاعدتا مشتقة القوة والحاصل، صالحتان حيث تكون الدوال قابلة للاشتقاق و v لا تنعدم.

خواص الدالة الأسية

الدالة الأسية

e^{a + b} = e^{a} e^{b} e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} (e^{a})^{n} = e^{na}

الدالة الأسية تحوّل المجموع إلى جداء، وهي موجبة تمامًا على ℝ.

نهايات مرجعية للدالة الأسية

الدالة الأسية

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty x \to - \infty lim x e^{x} = 0 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

الأسية تتغلب على أي دالة كثير حدود عند +∞.

مشتقة e^u

الدالة الأسية

(e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}

إشارة المشتقة هي إشارة u′ لأن الأسية موجبة تمامًا.

المعادلة التفاضلية y' = ay + b

الدالة الأسية

y^{'} = a y + b (a \neq = 0) ⟺ y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}, C \in R

الحلول هي دوال من هذا الشكل، ويُعيَّن الثابت C بشرط ابتدائي.

خواص الدالة اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية

ln (ab) = ln a + ln b ln \frac{a}{b} = ln a - ln b ln (a^{n}) = n ln a

من أجل a و b عددين حقيقيين موجبين تمامًا. والدالة ln هي الدالة العكسية للدالة الأسية.

نهايات مرجعية للدالة ln

الدالة اللوغاريتمية

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0 x \to 0^{+} lim x ln x = 0 x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1

أي كثير حدود يتغلب على اللوغاريتم عند +∞.

مشتقة ln u

الدالة اللوغاريتمية

(ln u (x))^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} (u > 0)

صالحة على كل مجال تكون فيه u موجبة تمامًا وقابلة للاشتقاق.

التكامل والدالة الأصلية

التكامل

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

حيث F دالة أصلية للدالة f المستمرة على [a; b].

التكامل بالتجزئة

التكامل

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

تُستعمل لحساب تكامل جداء، مثل x·eˣ أو ln x.

القيمة المتوسطة

التكامل

μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

القيمة المتوسطة للدالة f على المجال [a; b].

المتتالية الحسابية

المتتاليات

u_{n} = u_{p} + (n - p) r S = u_{p} + \dots + u_{n} = \frac{N ( u _{p} + u _{n} )}{2}

r هو الأساس و N = n − p + 1 عدد الحدود. المجموع = عدد الحدود × (الحد الأول + الحد الأخير) ÷ 2.

المتتالية الهندسية

المتتاليات

u_{n} = u_{p} q^{n - p} S = u_{p} \frac{1 - q ^{N}}{1 - q} (q \neq = 1)

q هو الأساس و N عدد الحدود في المجموع ابتداءً من u_p.

الاحتمال الشرطي

الاحتمالات

P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B)

الثانية هي دستور الاحتمالات الكلية، مفيدة مع الشجرة الاحتمالية.

الأمل الرياضياتي والتباين

الاحتمالات

E (X) = i \sum x_{i} p_{i} V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} σ = V (X)

الأمل هو المتوسط المنتظر للمتغير العشوائي X.

التوفيقات

الاحتمالات

C_{n}^{p} = (p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}

عدد طرق اختيار p عنصرًا من بين n دون ترتيب.

الطويلة والعمدة

الأعداد المركبة

z = a + ib = r e^{i θ}, r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}, cos θ = \frac{a}{r}, sin θ = \frac{b}{r}

الانتقال من الشكل الجبري إلى الشكل الأسي.

معادلة من الدرجة الثانية بمميز سالب

الأعداد المركبة

Δ < 0 ⟹ z_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}

للمعادلة az² + bz + c = 0 ذات المعاملات الحقيقية حلان مركبان مترافقان.

السرعة الحجمية للتفاعل

المتابعة الزمنية

v_{v o l} = \frac{1}{V} \frac{d x}{d t}

x تقدم التفاعل و V حجم المزيج. تُقرأ dx/dt كميل المماس لمنحنى x(t).

قانون التناقص الإشعاعي

التحولات النووية

N (t) = N_{0} e^{- λ t} t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ} A = λ N

λ ثابت التفكك، t½ نصف العمر و A النشاط الإشعاعي بالبكريل (Bq).

طاقة الربط

التحولات النووية

E_{ℓ} = Δ m c^{2} = (Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - m_{X}) c^{2}

Δm نقص الكتلة. كلما كبرت طاقة الربط لكل نوية كانت النواة أكثر استقرارًا.

شحن مكثفة في دارة RC

الكهرباء

u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ}) τ = R C

عند t = τ تبلغ uC حوالي 63% من E، وتُعتبر المكثفة مشحونة كليًا بعد 5τ.

الطاقة المخزنة

الكهرباء

E_{C} = \frac{1}{2} C u_{C}^{2} E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2}

الطاقة المخزنة في مكثفة سعتها C وفي وشيعة ذاتيتها L.

تيار في دارة RL

الكهرباء

i (t) = \frac{E}{R} (1 - e^{- t / τ}) τ = \frac{L}{R}

تعارض الوشيعة تغيّر التيار، فيبلغ قيمته العظمى E/R تدريجيًا.

القانون الثاني لنيوتن

الميكانيك

\sum F_{e x t} = m a_{G}

في مرجع غاليلي، مجموع القوى الخارجية يساوي جداء الكتلة في تسارع مركز العطالة.

حركة قذيفة

الميكانيك

x (t) = v_{0} cos α t y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin α t

بإهمال تأثير الهواء، مع انطلاق القذيفة من المبدأ بسرعة v₀ تصنع زاوية α مع الأفق.

سرعة ودور قمر اصطناعي

الميكانيك

v = \frac{GM}{R + h} \frac{T ^{2}}{( R + h ) ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM}

لحركة دائرية منتظمة حول كوكب كتلته M، والعلاقة الثانية هي القانون الثالث لكبلر.

pH وثابت الحموضة

الأحماض والأسس

pH = - lo g [H_{3} O^{+}] pH = p K_{a} + lo g \frac{[ A ^{-} ]}{[ A H ]}

عند نصف التكافؤ في معايرة حمض ضعيف يكون pH = pKa.

نسبة التقدم النهائي

الأحماض والأسس

τ_{f} = \frac{x _{f}}{x _{ma x}}

إذا كان τf = 1 فالتحول تام، وإذا كان τf < 1 فالتحول محدود.