الدالة الأسية: ملخص الدرس مع مثال محلول

الدالة الأسية حاضرة في أغلب مواضيع البكالوريا في الرياضيات، غالبًا ضمن تمرين دراسة دالة. هذا الملخص يجمع ما تحتاجه.

التعريف

الدالة الأسية هي الدالة الوحيدة $f$ القابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ والتي تحقق:

$$f^{\prime }=f,f(0)=1$$

نرمز لها بـ $x\mapsto e^x$، ولدينا $e^0=1$ و $e^1=e\approx 2,718$.

الخواص الجبرية

من أجل كل عددين حقيقيين $a$ و $b$ وكل عدد صحيح $n$:

$$e^{a+b}=e^a{e}^b{e}^{-a}=\frac{1}{e^a}{e}^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}{\left(e^a\right)}^n=e^{na}$$

الإشارة واتجاه التغير

• من أجل كل $x$ من $\mathbb{R}$: $e^x>0$.
• الدالة الأسية متزايدة تمامًا على $\mathbb{R}$ لأن مشتقتها $e^x>0$.
• نتيجة مهمة لحل المعادلات والمتراجحات:

$$e^a=e^b⟺a=b{e}^a<e^b⟺a<b$$

النهايات المرجعية

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty \underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$$ $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty \underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$$

مشتقة ودالة أصلية

إذا كانت $u$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ فإن:

$${\left(e^{u(x)}\right)}^{\prime }=u^{\prime }(x)e^{u(x)}$$

وبالتالي فإن دالة أصلية للدالة $x\mapsto u^{\prime }(x)e^{u(x)}$ هي $x\mapsto e^{u(x)}$.

المعادلة التفاضلية $y^{\prime }=ay+b$

من أجل $a\ne 0$، حلول المعادلة هي الدوال:

$$y(x)=C{e}^{ax}-\frac{b}{a},C\in \mathbb{R}$$

ويُعيَّن الثابت $C$ بشرط ابتدائي مثل $y(0)=y_0$.

مثال محلول: دراسة دالة

لتكن الدالة $f$ المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=(x-1)e^x$.

1. النهايات

عند $+\infty$: $x-1\to +\infty$ و $e^x\to +\infty$، إذن ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$.

عند $-\infty$ نكتب $f(x)=x{e}^x-e^x$. بما أن ${\lim }_{x\to -\infty }x{e}^x=0$ و ${\lim }_{x\to -\infty }{e}^x=0$ فإن:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$$

إذن المستقيم ذو المعادلة $y=0$ مقارب أفقي لمنحنى $f$ بجوار $-\infty$.

2. المشتقة واتجاه التغير

$$f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$$

بما أن $e^x>0$ فإن إشارة $f^{\prime }(x)$ هي إشارة $x$:

• $f$ متناقصة تمامًا على $]-\infty ;0]$،
• $f$ متزايدة تمامًا على $[0;+\infty [$،
• و $f$ تقبل قيمة حدية صغرى $f(0)=-1$.

3. معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة 1

$f(1)=0$ و $f^{\prime }(1)=e$، إذن معادلة المماس:

$$y=e(x-1)$$

أخطاء شائعة

• كتابة $e^{a+b}=e^a+e^b$: خطأ، الصحيح هو الجداء.
• نسيان ضرب $u^{\prime }$ عند اشتقاق $e^{u(x)}$.
• البحث عن حلول للمعادلة $e^x=0$ أو $e^x=-2$: لا حلول لهما لأن $e^x>0$.

تدرّب على القوانين في مكتبة القوانين وراجع النهايات بسرعة عبر بطاقات المراجعة.