ثنائي القطب RC: شحن وتفريغ مكثفة

دارة RC من أكثر المواضيع تكرارًا في البكالوريا. الطريقة هي نفسها دائمًا: قانون جمع التوترات ← معادلة تفاضلية ← حل ← استغلال البيان.

الدارة ورموزها

نربط على التسلسل مولدًا مثاليًا للتوتر $E$، ناقلًا أوميًا مقاومته $R$، ومكثفة سعتها $C$.

1. الشحن

المعادلة التفاضلية

حسب قانون جمع التوترات: $E=u_R+u_C=Ri+u_C$، ومع $i=\frac{dq}{dt}=C\frac{d{u}_C}{dt}$ نجد:

$$RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=E$$

الحل

$$u_C(t)=E\left(1-e^{-t/\tau }\right)i(t)=\frac{E}{R}{e}^{-t/\tau }\tau =RC$$

• عند $t=0$: المكثفة فارغة، $u_C=0$ والتيار أعظمي $i=E/R$.
• عندما $t\to +\infty$: $u_C\to E$ و $i\to 0$.

2. التفريغ

نفصل المولد ونغلق الدارة على $R$ و $C$ فقط (المكثفة مشحونة تحت التوتر $E$):

$$RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=0⟹u_C(t)=E{e}^{-t/\tau }$$

3. ثابت الزمن $\tau$

$\tau =RC$ يعبّر عن سرعة الشحن أو التفريغ، ووحدته الثانية لأن $\Omega \times \mathrm{F}=\mathrm{s}$.

طرق تعيينه بيانيًا:

1. في الشحن: نقرأ الزمن الموافق لـ $u_C=0,63E$.
2. في التفريغ: نقرأ الزمن الموافق لـ $u_C=0,37E$.
3. المماس عند المبدأ: يقطع المستقيم المقارب $u_C=E$ (في الشحن) أو محور الأزمنة (في التفريغ) عند $t=\tau$.

4. الطاقة المخزنة في المكثفة

$$E_C=\frac{1}{2}C{u}_C^2$$

عند نهاية الشحن تكون الطاقة المخزنة $\frac{1}{2}C{E}^2$.

مثال عددي

$E=6\mathrm{V}$، $R=10\mathrm{k\Omega }$، $C=100\mu \mathrm{F}$:

$$\tau =RC=10\times 10^3\times 100\times 10^{-6}=1\mathrm{s}$$

• تكون المكثفة مشحونة عمليًا بعد $5\tau =5\mathrm{s}$.
• عند $t=\tau$: $u_C\approx 0,63\times 6\approx 3,8\mathrm{V}$.
• الطاقة النهائية: $E_C=\frac{1}{2}\times 100\times 10^{-6}\times 6^2=1,8\times 10^{-3}\mathrm{J}$.

أخطاء شائعة

• نسيان تحويل الوحدات ($\mathrm{k\Omega }$ و $\mu \mathrm{F}$).
• الخلط بين $0,63E$ (الشحن) و $0,37E$ (التفريغ).
• كتابة نتيجة دون وحدة: تخسر جزءًا من العلامة.

راجع القوانين في مكتبة القوانين واختبر نفسك في بطاقات الفيزياء.