MathématiquesCoefficient 7

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La matière clé (coef. 7). L'arithmétique (congruences dans ℤ) s'ajoute au tronc commun. Rigueur des démonstrations et rapidité de calcul sont attendues.

Programme par chapitre

1Limites et continuité
- Limites aux bornes du domaine
- Asymptotes
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Fonctions continues strictement monotones
2Dérivabilité et étude de fonctions
- Nombre dérivé et tangente
- Dérivée d'une fonction composée
- Sens de variation et extremums
- Point d'inflexion et position relative
3Fonction exponentielle
- Définition et propriétés algébriques
- Limites de référence
- La fonction x ↦ e^{u(x)}
- Équations différentielles y' = ay + b
4Fonction logarithme népérien
- Définition et propriétés de ln
- Limites de référence et croissances comparées
- La fonction x ↦ ln(u(x))
- Logarithme décimal
5Primitives et calcul intégral
- Primitives des fonctions usuelles
- Intégrale et propriétés
- Calcul d'aires
- Valeur moyenne et intégration par parties
6Suites numériques
- Suites arithmétiques et géométriques
- Raisonnement par récurrence
- Monotonie et convergence
- Suites adjacentes
7Probabilités
- Dénombrement et combinaisons
- Probabilité conditionnelle et indépendance
- Loi de probabilité et variable aléatoire
- Espérance et variance
8Nombres complexes et transformations
- Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle
- Équations du second degré
- Complexes et géométrie
- Translation, homothétie et rotation
9Géométrie dans l'espace
- Produit scalaire dans l'espace
- Représentation paramétrique d'une droite
- Équation cartésienne d'un plan
- Positions relatives et distances
10Arithmétique et congruences
- Division euclidienne
- Congruences modulo n
- PGCD et théorème de Bézout
- Théorème de Gauss et nombres premiers

Formules essentielles

Tout voir

Dérivée d'une composée

(v \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) v^{'} (u (x))

On dérive la fonction extérieure en u(x), puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.

Exempleavec u(x)=x²+1

(x^{2} + 1)^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

Équation de la tangente

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Dérivées usuelles

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Dérivée d'une puissance et d'un quotient, là où les fonctions sont dérivables et v non nulle.

Propriétés de l'exponentielle

e^{a + b} = e^{a} e^{b} e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} (e^{a})^{n} = e^{na}

L'exponentielle transforme les sommes en produits ; elle est strictement positive sur ℝ.

Limites de référence (exp)

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty x \to - \infty lim x e^{x} = 0 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

L'exponentielle l'emporte sur toute fonction polynôme en +∞.

Dérivée de e^u

(e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}

Le signe de la dérivée est celui de u′ car l'exponentielle est strictement positive.