Formules de maths et de physique pour le BAC

Des formules claires, avec une courte explication et un exemple si utile. Recherchez ou filtrez par matière et chapitre.

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31 formules

Dérivée d'une composée

Dérivation

(v \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) v^{'} (u (x))

On dérive la fonction extérieure en u(x), puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.

Exempleavec u(x)=x²+1

(x^{2} + 1)^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

Équation de la tangente

Dérivation

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Dérivées usuelles

Dérivation

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Dérivée d'une puissance et d'un quotient, là où les fonctions sont dérivables et v non nulle.

Propriétés de l'exponentielle

Exponentielle

e^{a + b} = e^{a} e^{b} e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} (e^{a})^{n} = e^{na}

L'exponentielle transforme les sommes en produits ; elle est strictement positive sur ℝ.

Limites de référence (exp)

Exponentielle

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty x \to - \infty lim x e^{x} = 0 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

L'exponentielle l'emporte sur toute fonction polynôme en +∞.

Dérivée de e^u

Exponentielle

(e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}

Le signe de la dérivée est celui de u′ car l'exponentielle est strictement positive.

Équation différentielle y' = ay + b

Exponentielle

y^{'} = a y + b (a \neq = 0) ⟺ y (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}, C \in R

Les solutions sont de cette forme ; la constante C est fixée par une condition initiale.

Propriétés du logarithme

Logarithme

ln (ab) = ln a + ln b ln \frac{a}{b} = ln a - ln b ln (a^{n}) = n ln a

Pour a, b réels strictement positifs. ln est la réciproque de l'exponentielle.

Limites de référence (ln)

Logarithme

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0 x \to 0^{+} lim x ln x = 0 x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1

Toute puissance de x l'emporte sur le logarithme en +∞.

Dérivée de ln u

Logarithme

(ln u (x))^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} (u > 0)

Valable sur tout intervalle où u est dérivable et strictement positive.

Intégrale et primitive

Intégrales

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Où F est une primitive de f continue sur [a ; b].

Intégration par parties

Intégrales

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

Pour intégrer un produit, par exemple x·eˣ ou ln x.

Valeur moyenne

Intégrales

μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

Valeur moyenne de f sur [a ; b].

Suite arithmétique

Suites

u_{n} = u_{p} + (n - p) r S = u_{p} + \dots + u_{n} = \frac{N ( u _{p} + u _{n} )}{2}

r est la raison et N = n − p + 1 le nombre de termes. Somme = nombre de termes × (premier + dernier) ÷ 2.

Suite géométrique

Suites

u_{n} = u_{p} q^{n - p} S = u_{p} \frac{1 - q ^{N}}{1 - q} (q \neq = 1)

q est la raison et N le nombre de termes de la somme à partir de u_p.

Probabilité conditionnelle

Probabilités

P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap B)

La seconde est la formule des probabilités totales, utile avec un arbre pondéré.

Espérance et variance

Probabilités

E (X) = i \sum x_{i} p_{i} V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} σ = V (X)

L'espérance est la valeur moyenne attendue de la variable aléatoire X.

Combinaisons

Probabilités

C_{n}^{p} = (p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}

Nombre de façons de choisir p éléments parmi n, sans ordre.

Module et argument

Complexes

z = a + ib = r e^{i θ}, r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}, cos θ = \frac{a}{r}, sin θ = \frac{b}{r}

Passage de la forme algébrique à la forme exponentielle.

Second degré, discriminant négatif

Complexes

Δ < 0 ⟹ z_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}

L'équation az² + bz + c = 0 à coefficients réels a deux solutions complexes conjuguées.

Vitesse volumique de réaction

Cinétique

v_{v o l} = \frac{1}{V} \frac{d x}{d t}

x est l'avancement et V le volume du mélange ; dx/dt est la pente de la tangente à x(t).

Loi de décroissance radioactive

Nucléaire

N (t) = N_{0} e^{- λ t} t_{1/2} = \frac{ln 2}{λ} A = λ N

λ constante radioactive, t½ demi-vie, A activité en becquerels (Bq).

Énergie de liaison

Nucléaire

E_{ℓ} = Δ m c^{2} = (Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - m_{X}) c^{2}

Δm est le défaut de masse. Plus l'énergie de liaison par nucléon est grande, plus le noyau est stable.

Charge d'un condensateur (RC)

Électricité

u_{C} (t) = E (1 - e^{- t / τ}) τ = R C

À t = τ, uC atteint environ 63 % de E ; le condensateur est considéré chargé après 5τ.

Énergie stockée

Électricité

E_{C} = \frac{1}{2} C u_{C}^{2} E_{L} = \frac{1}{2} L i^{2}

Énergie stockée dans un condensateur de capacité C et dans une bobine d'inductance L.

Courant dans un circuit RL

Électricité

i (t) = \frac{E}{R} (1 - e^{- t / τ}) τ = \frac{L}{R}

La bobine s'oppose aux variations du courant, qui atteint progressivement E/R.

Deuxième loi de Newton

Mécanique

\sum F_{e x t} = m a_{G}

Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures égale la masse fois l'accélération du centre d'inertie.

Mouvement d'un projectile

Mécanique

x (t) = v_{0} cos α t y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin α t

Sans frottements, projectile lancé depuis l'origine à v₀ faisant un angle α avec l'horizontale.

Vitesse et période d'un satellite

Mécanique

v = \frac{GM}{R + h} \frac{T ^{2}}{( R + h ) ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{GM}

Pour un mouvement circulaire uniforme autour d'un astre de masse M ; la seconde relation est la 3e loi de Kepler.

pH et constante d'acidité

Acides-bases

pH = - lo g [H_{3} O^{+}] pH = p K_{a} + lo g \frac{[ A ^{-} ]}{[ A H ]}

À la demi-équivalence d'un titrage d'acide faible, pH = pKa.

Taux d'avancement final

Acides-bases

τ_{f} = \frac{x _{f}}{x _{ma x}}

Si τf = 1 la transformation est totale ; si τf < 1 elle est limitée.