Sciences expérimentalesCoefficient 5

Mathématiques — Sciences expérimentales

Coefficient 5. Les sujets portent généralement sur une étude de fonction (exponentielle ou logarithme), les suites, les probabilités et les complexes ou la géométrie dans l'espace.

Programme par chapitre

1Limites et continuité
- Limites aux bornes du domaine
- Asymptotes
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Fonctions continues strictement monotones
2Dérivabilité et étude de fonctions
- Nombre dérivé et tangente
- Dérivée d'une fonction composée
- Sens de variation et extremums
- Point d'inflexion et position relative
3Fonction exponentielle
- Définition et propriétés algébriques
- Limites de référence
- La fonction x ↦ e^{u(x)}
- Équations différentielles y' = ay + b
4Fonction logarithme népérien
- Définition et propriétés de ln
- Limites de référence et croissances comparées
- La fonction x ↦ ln(u(x))
- Logarithme décimal
5Primitives et calcul intégral
- Primitives des fonctions usuelles
- Intégrale et propriétés
- Calcul d'aires
- Valeur moyenne et intégration par parties
6Suites numériques
- Suites arithmétiques et géométriques
- Raisonnement par récurrence
- Monotonie et convergence
- Suites adjacentes
7Probabilités
- Dénombrement et combinaisons
- Probabilité conditionnelle et indépendance
- Loi de probabilité et variable aléatoire
- Espérance et variance
8Nombres complexes et transformations
- Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle
- Équations du second degré
- Complexes et géométrie
- Translation, homothétie et rotation
9Géométrie dans l'espace
- Produit scalaire dans l'espace
- Représentation paramétrique d'une droite
- Équation cartésienne d'un plan
- Positions relatives et distances

Formules essentielles

Tout voir

Dérivée d'une composée

(v \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) v^{'} (u (x))

On dérive la fonction extérieure en u(x), puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.

Exempleavec u(x)=x²+1

(x^{2} + 1)^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 1}

Équation de la tangente

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Dérivées usuelles

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1} (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

Dérivée d'une puissance et d'un quotient, là où les fonctions sont dérivables et v non nulle.

Propriétés de l'exponentielle

e^{a + b} = e^{a} e^{b} e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}} (e^{a})^{n} = e^{na}

L'exponentielle transforme les sommes en produits ; elle est strictement positive sur ℝ.

Limites de référence (exp)

x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x} = + \infty x \to - \infty lim x e^{x} = 0 x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1

L'exponentielle l'emporte sur toute fonction polynôme en +∞.

Dérivée de e^u

(e^{u (x)})^{'} = u^{'} (x) e^{u (x)}

Le signe de la dérivée est celui de u′ car l'exponentielle est strictement positive.